Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，以AD為弦的⊙O交AB、AC于E、F，已知EF∥BC．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若已知AE=12，CF=6，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠1=∠2，

∴ = ，

∴OD⊥EF，

∵EF∥BC，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）

解：連接DE，

∵ = ，

∴DE=DF，

∵EF∥BC，

∴∠3=∠4，

∵∠1=∠3，

∴∠1=∠4，

∵∠DFC=∠AED，

∴△AED∽△DFC，

∴ = ，即 = ，

∴DE2=72，

∴DE=6 ．

【解析】（1）連接OD，由角平分線的定義得到∠1=∠2，得到 = ，根據垂徑定理得到OD⊥EF，根據平行線的性質得到OD⊥BC，于是得到結論；（2）連接DE，由 = ，得到DE=DF，根據平行線的性質得到∠3=∠4，等量代換得到∠1=∠4，根據相似三角形的性質即可得到結論；