Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
（1）用尺規(guī)作圖作AB邊上的垂直平分線DE，交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法和證明）
（2）連接BD，求證：DE=CD．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，DE為所作；

（2）證明：如圖，

∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，

∴∠DBA=∠A=30°，

∵∠ABC=90°﹣∠A=60°，

∴∠CBD=30°，

即BD平分∠ABC，

而DE⊥AB，DC⊥BC，

∴DE=DC．

【解析】（1）利用基本作圖（作已知線段的垂直平分線）作DE垂直平分AB；（2）先利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，則∠DBA=∠A=30°，再證明BD平分∠ABC，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．