Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點，連接AE、AC．

求證：（1）點F是DC上一點，連接EF，交AC于點O（如圖1），△AOE∽△COF；
（2）若點F是DC的中點，連接BD，交AE與點G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．

試題分析：（1）由點E是BC的中點，BC=2AD，可證得四邊形AECD為平行四邊形，即可得△AOE∽△COF；
（2）連接DE，易得四邊形ABED是平行四邊形，又由∠ABE=90°，可證得四邊形ABED是矩形，根據矩形的性質，易證得EF=GD=GE=DF，則可得四邊形EFDG是菱形．
試題解析：（1）∵點E是BC的中點，BC=2AD，∴EC=BE=BC=AD，又∵AD∥BC，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AE∥DC，∴△AOE∽△COF；
（2）連接DE，∵AD∥BE，AD=BE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∠ABE=90°，∴四邊形ABED是矩形，∴GE=GA=GB=GD=BD=AE，∴E、F分別是BC、CD的中點，∴EF、GE是△CBD的兩條中位線，∴EF=BD=GD，GE=CD=DF，又GE=GD，∴EF=GD=GE=DF，∴四邊形EFDG是菱形．