Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長為a，BM，DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足 ∠MAN=45°，連結MC，NC，MN．

（1）填空：與△ABM相似的三角形是△       ，BM·DN=        ；（用含a的代數式表示）
（2）求∠MCN的度數；
（3）猜想線段BM，DN和MN之間的數量關系并證明你的結論．

Answer 1

（1）NDA，a²；（2）135°；（3）BM²+DN²=MN²，證明見解析．

試題分析：（1）如圖（3）由條件可以得出∠BMA=∠3，∠ABM=∠ADN=135°，就可以得出△ABM∽△NDA，利用相似三角形的性質就可以的得出BM•DN=a²；（2）由△ABM∽△NDA，可以得出BM：DA=AB：ND，再由正方形的性質通過等量代換就可以得出△BCM∽△DNC，利用角的關系和圓周角的度數就可以求出結論；（3）將△AND繞點A順時針旋轉90°得到△ABF，連接MF，證明△ABF≌△ADN．利用邊角的關系得出△BMF是直角三角形，由勾股定理就可以得出結論．
試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°.
∵BM，DN分別平分正方形的兩個外角，∴∠CBM=∠CDN="45°." ∴∠ABM=∠ADN=135°.
∵∠MAN=45°，∴∠BMA=∠NAD. ∴△ABM∽△NDA. ∴. ∴BM•DN=a²．
（2）由（1）△ABM∽△NDA可得BM：DA=AB：ND．
∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=DC，DA=BC，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°．
∴BM：BC=DC：ND．
∵BM，DN分別平分正方形ABCD的兩個外角，∴∠CBM=∠NDC=45°．
∴△BCM∽△DNC．∴∠BCM=∠DNC．
∴∠MCN=360°-∠BCD-∠BCM-∠DCN=270°-（∠DNC+∠DCN）=270°-（180°-∠CDN）=135°.
（3）線段BM，DN和MN之間的等量關系是BM²+DN²=MN²．證明如下：
如圖，將△AND繞點A順時針旋轉90°得到△ABF，連接MF．則△ABF≌△ADN．
∴∠1=∠3，AF=AN，BF=DN，∠AFB=∠AND．∴∠MAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠MAN=45°．
∴∠MAF=∠MAN．
又∵AM=AM，∴△AMF≌△AMN．∴MF=MN．
可得∠MBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AND+∠3）+45°=90°．
∴在Rt△BMF中，BM²+BF²=FM²．
∴BM²+DN²=MN²．