Question

【題目】如圖，矩形中，相交于點O，過點B作交于點F，交于點M，過點D作交于點E，交于點N，連接．則下列結論：

①；②；

③；④當時，四邊形是菱形．

其中，正確結論的個數是（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

通過判斷△AND≌△CMB即可證明①，再判斷出△ANE≌△CMF證明出③，再證明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，進而判斷出②，通過 DF與EB先證明出四邊形為平行四邊形，再通過三線合一以及內角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，進而得到DE=BE，即可知四邊形為菱形．

∵BF⊥AC

∴∠BMC=90°

又∵

∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC

∴∠DNA=∠BMC=90°

∵四邊形ABCD為矩形

∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB

∴∠ADB=∠CBD

∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM

在△AND與△CMB

∵

∴△AND≌△CMB(AAS)

∴AN=CM，DN=BM，故①正確．

∵AB∥CD

∴∠NAE=∠MCF

又∵∠DNA=∠BMC=90°

∴∠ANE=∠CMF=90°

在△ANE與△CMF中

∵

∴△ANE≌△CMF（ASA）

∴NE=FM，AE=CF，故③正確．

在△NFM與△MEN中

∵

∴△NFM≌△MEN（SAS）

∴∠FNM=∠EMN

∴NF∥EM，故②正確．

∵AE=CF

∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB

又根據矩形性質可知DF∥EB

∴四邊形DEBF為平行四邊

根據矩形性質可知OD=AO，

當AO=AD時，即三角形DAO為等邊三角形

∴∠ADO=60°

又∵DN⊥AC

根據三線合一可知∠NDO=30°

又根據三角形內角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°

故DE=EB

∴四邊形DEBF為菱形，故④正確．

故①②③④正確

故選D．