Question

【題目】已知二次函數y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的最大值為4，且拋物線過點（ ，﹣ ），點P（t，0）是x軸上的動點，拋物線與y軸交點為C，頂點為D．
（1）求該二次函數的解析式，及頂點D的坐標；
（2）求|PC﹣PD|的最大值及對應的點P的坐標；
（3）設Q（0，2t）是y軸上的動點，若線段PQ與函數y=a|x|2﹣2a|x|+c的圖象只有一個公共點，求t的取值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=ax2﹣2ax+c的對稱軸為：x=﹣ =1，

∴拋物線過（1，4）和（ ，﹣ ）兩點，

代入解析式得： ，

解得：a=﹣1，c=3，

∴二次函數的解析式為：y=﹣x2+2x+3，

∴頂點D的坐標為（1，4）；

（2）

解：∵C、D兩點的坐標為（0，3）、（1，4）；

由三角形兩邊之差小于第三邊可知：

|PC﹣PD|≤|CD|，

∴P、C、D三點共線時|PC﹣PD|取得最大值，此時最大值為，

|CD|= ，

由于CD所在的直線解析式為y=x+3，

將P（t，0）代入得t=﹣3，

∴此時對應的點P為（﹣3，0）

（3）

解：y=a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化為：

y=

設線段PQ所在的直線解析式為y=kx+b，將P（t，0），Q（0，2t）代入得：

線段PQ所在的直線解析式：y=﹣2x+2t，

∴①當線段PQ過點（0，3），即點Q與點C重合時，線段PQ與函數

y= 有一個公共點，此時t= ，

當線段PQ過點（3，0），即點P與點（3，0）重合時，t=3，此時線段PQ與

y= 有兩個公共點，所以當 ≤t＜3時，

線段PQ與y= 有一個公共點，

②將y=﹣2x+2t代入y=﹣x2+2x+3（x≥0）得：

﹣x2+2x+3=﹣2x+2t，

﹣x2+4x+3﹣2t=0，

令△=16﹣4（﹣1）（3﹣2t）=0，

t= ＞0，

所以當t= 時，線段PQ與y= 也有一個公共點，

③當線段PQ過點（﹣3，0），即點P與點（﹣3，0）重合時，線段PQ只與

y=﹣x2﹣2x+3（x＜0）有一個公共點，此時t=﹣3，

所以當t≤﹣3時，線段PQ與y= 也有一個公共點，

綜上所述，t的取值是 ≤t＜3或t= 或t≤﹣3．

【解析】（1）先利用對稱軸公式x=﹣ 計算對稱軸，即頂點坐標為（1，4），再將兩點代入列二元一次方程組求出解析式；
　　　　（2）根據三角形的三邊關系：可知P、C、D三點共線時|PC﹣PD|取得最大值，求出直線CD與x軸的交點坐標，就是此時點P的坐標；
　　　　（3）先把函數中的絕對值化去，可知y= ，此函數是兩個二次函數的一部分，分三種情況進行計算：①當線段PQ過點（0，3），即點Q與點C重合時，兩圖象有一個公共點，當線段PQ過點（3，0），即點P與點（3，0）重合時，兩函數有兩個公共點，寫出t的取值；②線段PQ與當函數y=a|x|2﹣2a|x|+c（x≥0）時有一個公共點時，求t的值；③當線段PQ過點（﹣3，0），即點P與點（﹣3，0）重合時，線段PQ與當函數y=a|x|2﹣2a|x|+c（x＜0）時也有一個公共點，則當t≤﹣3時，都滿足條件；綜合以上結論，得出t的取值．本題考查了二次函數的綜合應用，先利用待定系數法求解析式，同時把最大值與三角形的三邊關系聯系在一起；同時對于二次函數利用動點求取值問題，從特殊點入手，把函數分成幾部分考慮，按自變量從大到小的順序或從小到大的順序求解．