Question

【題目】如圖1，已知A（a，0），B （0，b）分別為兩坐標軸上的點，且a，b滿足a2﹣24a+|b﹣12|=﹣144，且3OC=OA．

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）若D（2，0），過點D的直線分別交AB、BC于E、F兩點，且DF=DE，設E、F兩點的橫坐標分別為xE、xP，求xE+xP的值；

（3）如圖2，若M（4，8），點P是x軸上A點右側一動點，AH⊥PM于點H，在HM上取點G，使HG=HA，連接CG，當點P在點A右側運動時，∠CGM的度數是否改變？若不變，請求其值；若改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（12，0），B（0，12），C（﹣4，0）；（2）4；（3）不改變，∠CGM=45°.

【解析】

（1）由偶次方和算術平方根的非負性質求出a和b的值，得出點A、B的坐標，再求出OC，即可得出點C的坐標；

（2）作EG⊥x軸于G，FH⊥x軸于H，由三角形的面積關系得出DF=DE，由AAS證明△FDH≌△EDG，得出DH=DG，即可得出結果；

（3）連接MA、MC，過C作CT⊥PM于T，證明△CMT≌△MAH，可證明△CGT是等腰直角三角形，可求得∠CGM=45°

解：（1）∵a2﹣24a+|b﹣12|=﹣144，

∴（a﹣12）2+|b﹣12|=0，

∴a﹣12=0，b﹣12=0，

∴a=b=12，

∴A（12，0），B（0，12），

∴OA=OB=12，

∵OC：OA=1：3．

∴OC=4，

∴C（﹣4，0）；

（2）作EG⊥x軸于G，FH⊥x軸于H，如圖1所示：

則∠FHD=∠EGD=90°，

∵BD平分△BEF的面積，

∴DF=DE，

在△FDH和△EDG中，

，

∴△FDH≌△EDG（AAS），

∴DH=DG，即﹣xE+2=xF﹣2，

∴xE+xF=4；

（3）不改變，理由如下：
如圖3，連接MA、MC，過C作CT⊥PM于T，過M作MS⊥x軸于點S，

∵M（4，8），C（-4，0），A（12，0），

∴S（4，0），

∴MS垂直平分AC，

∴MC=MA，且MS=SC，

∴∠CMA=90°，

∴∠CMT+∠AMH=∠TCM+∠CMT=90°，
∴∠TCM=∠AMH，
在△CMT和△MAH中
，

∴△CMT≌△MAH（AAS），
∴TM=AH，CT=MH，
又AH=HG，
∴MT=GH，
∴GT=GM+MT=MG+GH=MH=CT，
∴△CGT是等腰直角三角形，
∴∠CGM=45°，
即當點P在點A右側運動時，∠CGM的度數不改變．