Question

如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，且線段OA、OC（OA＞OC）是方程x²-18x+80=0的兩根，將邊BC折疊，使點B落在邊OA上的點D處．
（1）求線段OA、OC的長；
（2）求直線CE與x軸交點P的坐標及折痕CE的長；
（3）是否存在過點D的直線l，使直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）方程x²-18x+80=0，
因式分解得：（x-8）（x-10）=0，
即x-8=0或x-10=0，
解得：x₁=8，x₂=10，
∴OA=10，OC=8；

（2）由折疊可知：△EBC≌△EDC，∴EB=ED，
∴CB=CD，又矩形OABC，∴AB=OC=8，
∴CB=CD=OA=10，又OC=8，
在Rt△OCD中，根據勾股定理得：OD=

CD2-OC2

=6，
∴AD=OA-OD=10-6=4，
又BE+EA=AB=8，且EB=ED，
∴DE+EA=8，即DE=8-EA，
在Rt△AED中，設AE=x，則DE=8-x，又AD=4，
根據勾股定理得：（8-x）²=x²+16，
整理得：16x=48，
解得：x=3，
則E的坐標為（10，3），又C（0，8），
設直線CE的解析式為y=kx+b，
將C與E坐標代入得：

b=8 10k+b=3

，
解得：k=-

1

2

，b=8，
則直線CE解析式為y=-

1

2

x+8，
令y=0求出x=16，即P坐標為（16，0）；
此時BE=BA-EA=8-3=5，又BC=OA=10，
在Rt△BCE中，根據勾股定理得：
CE=

BE2+BC2

=5

5

；

（3）存在．滿足條件的直線l有2條：y=-2x+12，y=2x-12．
如圖2：準確畫出兩條直線．