Question

如圖，直線l₁⊥x軸于點A（2，0），點B是直線l₁上的動點．直線l₂：y=x+1交l₁于點C，過點B作直線l₃垂直于l₂，垂足為D，過點O，B的直線l₄交l₂于點E，當直線l₁，l₂，l₃能圍成三角形時，設該三角形面積為S₁，當直線l₂，l₃，l₄能圍成三角形時，設該三角形面積為S₂．
（1）若點B在線段AC上，且S₁=S₂，則B點坐標為______；
（2）若點B在直線l₁上，且S₂=

3

S₁，則∠BOA的度數為______．

Answer 1

（1）設B的坐標是（2，m），
∵直線l₂：y=x+1交l₁于點C，
∴∠ACE=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3-m|，
則BD=CD=

2

2

BC=

2

2

|3-m|，
S₁=

1

2

×（

2

2

|3-m|）²=

1

4

（3-m）²．
設直線l₄的解析式是y=kx，過點B，
則2k=m，解得：k=

m

2

，
則直線l₄的解析式是y=

m

2

x．
根據題意得：

y= m 2 x y=x+1

，解得：

x= 2 m-2 y= m m-2

，
則E的坐標是（

2

m-2

，

m

m-2

）．
S_△BCE=

1

2

BC•|

2

m-2

-2|=

1

2

|3-m|•|

6-2m

m-2

|=

(3-m)2

|m-2|

．
∴S₂=S_△BCE-S₁=

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）^2_．
當S₁=S₂時，

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）²=

1

4

（3-m）²．
解得：m₁=4或m₂=0，
易得點C坐標為（2，3），即AC=3，
∵點B在線段AC上，
∴m₁=4不合題意舍去，
則B的坐標是（2，0）；

（2）分三種情況：
①當點B在線段AC上時
當S₂=

3

S₁時，

(3-m)2

|m-2|

-

1

4

（3-m）²=

3

4

（3-m）²．
解得：m=4-2

3

或2

3

（不在線段AC上，舍去），或m=3（l2和l4重合，舍去）．
則AB=4-2

3

．
在OA上取點F，使OF=BF，連接BF，設OF=BF=x．
則AF=2-x，根據勾股定理，x2=(2-x)2+(4-2

3

)2，
解得：x=8-4

3

，
∴sin∠BFA=

4-2 3

8-4 3

=

1

2

，
∴∠BFA=30°，
∴∠BOA=15°；

②當點B在AC延長線上時，
此時，S2=S△BCE+S1=

(3-m)2

|m-2|

+

1

4

(3-m)2
當S₂=

3

S₁時，得：

(3-m)2

|m-2|

+

1

4

(3-m)2=

3

?

1

4

(3-m)2，
解得符合題意有：AB=4+2

3

．
在AB上取點G，使BG=OG，連接OG，設BG=OG=x，
則AG=4+2

3

-x．根據勾股定理，得x2=(4+2

3

-x)2+22，
解得：x=4，
∴sin∠OGA=

2

4

=

1

2

，
∴∠OGA=30°，
∴∠OBA=15°，
∴∠BOA=75°；

③當點B在CA延長線上時
此時，S2=S1-S△BCE=

1

4

(3-m)2-

(3-m)2

|m-2|

，
當S₂=

3

S₁時，得：

1

4

(3-m)2-

(3-m)2

|m-2|

=

3

?

1

4

(3-m)2，
解得：m=3（l₂和l₄重合，舍去），
∴此時滿足條件的點B不存在，
綜上所述，∠BOA的度數為15°或75°．