Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線過A，B，C三點，點A的坐標是（3，0），點C的坐標是（0，﹣3），動點P在拋物線上．

（1）b= ，c= ，點B的坐標為 ；（直接填寫結果）

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=﹣2，c=﹣3，B（﹣1，0）；（2）P（1，﹣4）或（﹣2，5）；（3）（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得點B的坐標；

（2）分別過點C和點A作AC的垂線，將拋物線與P1，P2兩點先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A與拋物線的交點坐標即可；

（3）連接OD．先證明四邊形OEDF為矩形，從而得到OD=EF，然后根據垂線段最短可求得點D的縱坐標，從而得到點P的縱坐標，然后由拋物線的解析式可求得點P的坐標．

試題解析：（1）∵將點A和點C的坐標代入拋物線的解析式得：，解得：b=﹣2，c=﹣3，∴拋物線的解析式為．∵令，解得：，，∴點B的坐標為（﹣1，0）．故答案為：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．

（2）存在．理由：如圖所示：

①當∠ACP1=90°．由（1）可知點A的坐標為（3，0）．設AC的解析式為y=kx﹣3．

∵將點A的坐標代入得3k﹣3=0，解得k=1，∴直線AC的解析式為y=x﹣3，∴直線CP1的解析式為y=﹣x﹣3．∵將y=﹣x﹣3與聯立解得，（舍去），∴點P1的坐標為（1，﹣4）．

②當∠P2AC=90°時．設AP2的解析式為y=﹣x+b．∵將x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3，∴直線AP2的解析式為y=﹣x+3．∵將y=﹣x+3與聯立解得=﹣2，=3（舍去），∴點P2的坐標為（﹣2，5）．

綜上所述，P的坐標是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）如圖2所示：連接OD．

由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在Rt△AOC中，∵OC=OA=3，OD⊥AC，∴D是AC的中點．又∵DF∥OC，∴DF=OC=，∴點P的縱坐標是，∴，解得：x=，∴當EF最短時，點P的坐標是：（，）或（，）．