Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求證：△ABC是直角三角形；

（3）若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），C（﹣1，﹣3）；（2）證明見解析；（3）（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．

【解析】

試題分析：（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，結(jié)合A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結(jié)論；

（3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長度，當(dāng)△MON和△ABC相似時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)可得或，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：

（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），∴設(shè)拋物線解析式為，又拋物線過原點(diǎn)，∴，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為，即，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得：，解得：或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）如圖，分別過A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形；

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)N（x，0），則M（x，），∴ON=|x|，MN=，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB=，BC=，∵M(jìn)N⊥x軸于點(diǎn)N

∴∠ABC=∠MNO=90°，∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時(shí)，有或；

①當(dāng)時(shí)，則有，即，∵當(dāng)x=0時(shí)M、O、N不能構(gòu)成三角形，∴x≠0，∴，即，解得x=或x=，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）；

②當(dāng)時(shí)，則有，即，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（5，0）；

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．