Question

【題目】如圖，將矩形ABCD沿線段AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．

（1）求證：△AGE≌△AGD
（2）探究線段EG、GF、AF之間的數量關系，并說明理由；
（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△AEF是由△ADF折疊得到的，

∴AD=AE，∠DAG=∠EAG，

又∵AG=AG

∴△AGE≌△AGD；

（2）

解：AF×GF=2EG2，

證明如下：

連接DE交GF于點O

∵△AEF是由△ADF折疊得到的

∠DAG=∠EAG，DF=EF

∵△AGE≌△AGD

∴GD=GE，∠AGD=∠AGE

∴∠FGD=∠FGE

∵EG∥CD

∴∠DFG=∠FGE

∴∠FGD=∠DFG

∴GD=DF

∴GD=EG=EF=DF

∴四邊形DGEF是菱形

AF⊥DE，OF= GF

∴∠ADF=∠DOF=90°

又∵∠DFO=∠DFA

∴△DFO∽△AFD

∴

∴OF×AF=DF2

∵OF= GF，DF=EG

∴ GF×AF=EG2

即：AF×GF=2EG2

（3）

解：過點G作GH⊥CD于H

則四邊形CHGE是矩形，

∴CE=GH

設GF=x，則AF=6+x

∵AF×GF=2EG2EG=2

∴x（6+x）=40

解得：x=4

∴GF=4，

∴AF=6+4=10

在Rt△AEF中

AE=

∴BC=AD=AE=4

∵GH∥AD

∴△FGH∽△FAD

∴

∴

∴CE=GH=

∴BE=BC﹣CE=4 ﹣ = ．

【解析】（1）先依據翻折的性質可得AD=AE，∠DAG=∠EAG，易得△AGE≌△AGD；（2）連接DE，交AF于點O．由菱形的性質可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質可證明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的數量關系；（3）過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結論可求得FG=4，然后再△ADF中依據勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質可求得GH的長，最后依據BE=AD﹣GH求解即可．