Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與X軸交于點A、B兩點B處的坐標為（3，0），與y軸交于c（0，﹣3），點P是直線BC下方拋物線上的動點．

（1）求出二次函數的解析式；
（2）連接PO、PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使得四邊形POP′C為菱形？若存在，求出點P的坐標，若存在，請說明理由；
（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得

，解得 ，

∴這個二次函數的表達式為y=x2﹣2x﹣3

（2）解：存在．理由如下：

如圖1中，作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點P，垂足為點E．

則PO=PC，

∵△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，

∴OP′=OP，CP′=CP，

∴OP′=OP=CP′=CP，

∴四邊形POP′C為菱形，

∵C點坐標為（0，﹣3），

∴E點坐標為（0，﹣ ），

∴點P的縱坐標為﹣ ，

把y=﹣ 代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣ ，

解得x= ，

∵點P在直線BC下方的拋物線上，

∴x= ，

∴滿足條件的點P的坐標為（ ，﹣ ）．

（3）解：如圖2中，作PF⊥x軸于F點，交BC于E點，BC的解析式為y=x﹣3，設E（m，m﹣3），P（m，m2﹣2m﹣3）．

，

PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

S△BCP=S△BEP+SCEP= PE×FB+ EPOF

= EPOB

= ×3[﹣（m﹣ ）2+ ]

=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當m= 時，S最大= ，

此時P（ ，﹣ ）；

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

∵四邊形ACPB的面積=△ABC的面積+△PBC的面積，△ABC的面積= ×4×3=6=定值，

∴當△PBC的面積最大時，四邊形ACPB的面積最大，最大值為6+ =

【解析】1）將點B、C代入y=x2+bx+c可得到關于b、c的方程組，解方程組求即可。
（2）作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點P，則PO=PC，根據翻折的性質得OP′=OP，CP′=CP，易證得四邊形POP′C為菱形，就可以求得點E的坐標，將點P的縱坐標代入二次函數解析式，可求出對應x的值，根據點P在直線BC下方的拋物線上，然后確定滿足條件的P點坐標。
（3）添加輔助線，作PF⊥x軸于F點，交BC于E點，BC的解析式為y=x-3，設E（m，m-3），P′（m，m2-2m-3）．根據S△BCP=S△BEP+SCEP，構建s與m的二次函數，求出二次函數的頂點坐標，求出△PBC的面積的最大值，即可解決問題。

【考點精析】認真審題，首先需要了解確定一次函數的表達式(確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法)，還要掌握二次函數的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)的相關知識才是答題的關鍵．