Question

【題目】如圖，要設計一個等腰梯形的花壇，花壇上底120米，下底180米，上下底相距80米，在兩腰中點連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等．設甬道的寬為x米．

（1）用含x的式子表示橫向甬道的面積；
（2）當三條甬道的面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬；
（3）根據設計的要求，甬道的寬不能超過6米．如果修建甬道的總費用（萬元）與甬道的寬度成正比例關系，比例系數是5.7，花壇其余部分的綠化費用為每平方米0.02萬元，那么當甬道的寬度為多少米時，所建花壇的總費用最少？最少費用是多少萬元？

Answer 1

【答案】
（1）解：橫向甬道的面積為： x=150x（m2）

（2）解：橫向甬道的面積為： x=150x（m2）；

甬道總面積為150x+160x﹣2x2=310x﹣2x2，

依題意：310x﹣2x2= × ×80，

整理得：x2﹣155x+750=0，

x1=5，x2=150（不符合題意，舍去），

∴甬道的寬為5米；

（3）解：∵花壇上底120米，下底180米，上下底相距80米，

∴等腰梯形的面積為： （120+180）×80=12000，

∵甬道總面積為S=310x﹣2x2，

綠化總面積為12000﹣S，

花壇總費用y=甬道總費用+綠化總費用：

∴y=5.7x+（12000﹣S）×0.02，

=5.7x﹣0.02S+240，

=5.7x﹣0.02（310x﹣2x2）+240，

=0.04x2﹣0.5x+240，

當x=﹣ =6.25時，y的值最小．

∵根據設計的要求，甬道的寬不能超過6米，

∴當x=6米時，總費用最少．

即最少費用為：0.04×62﹣3+240=238.44萬元．

【解析】（1）先求出橫向甬道的長即梯形的中位線長，即可求出其面積。
（2）根據題意先求出甬道總面積，再根據甬道總面積=梯形面積。建立方程求解即可。
（3）分別求出等腰梯形的面積、甬道總面積、綠化總面積，再根據花壇總費用y=甬道總費用+綠化總費用，建立函數關系式，再求出頂點坐標，根據設計要求甬道的寬不能超過6米，求出當x=6時的函數值即可。
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)，還要掌握梯形的中位線(梯形的中位線平行于梯形的兩底并等于兩底和的一半)的相關知識才是答題的關鍵．