Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點D是AC上的一點，在BC上取一點E，使BE=CD，連接AE交BD于點P，在BD的延長線上取一點Q，使AP=PQ，連接AQ、CQ，點G為PQ的中點，DG=PE，若CQ=，則BQ=________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如下圖，連接CG，由已知條件易證△ABE≌△BCD，由此可得∠BAE=∠CBD，從而可得∠APQ=∠BAE+∠ABP=∠ABC=60°，結合AP=PQ可得△APQ是等邊三角形，由此易證△ABP≌△ACQ，從而可得BP=CQ=，再通過證∠BEP=∠CDG，證得△BEP≌△CDG可得CG=BP=CQ，∠CGD=∠BPE=∠APD=60°，由此可得△CGQ是等邊三角形，由此可得GQ=CQ=，結合點G是PQ的中點可得PQ=，由此即可得到BQ=.

如下圖，連接CQ，∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°，

∵BE=CD，

∴△ABE≌△BCD，

∴∠BAE=∠CBD，

∴∠APQ=∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=60°，

∵AP=PQ，

∴△APQ是等邊三角形，

∴∠PAQ=∠BAC=60°，AP=AQ，

∴∠BAC-∠EAC=∠PAQ-∠EAC，即∠BAP=∠CAQ，

∴△BAP≌△CAQ，

∴BP=CQ=，

∵∠BEP=∠ACB+∠CAE=60°+∠CAE，∠CDG=∠APQ+∠CAE=60°+∠CAE，

∴∠BEP=∠CDG，

又∵BE=CD，PE=DG，

∴△BEP≌△CDG，

∴CG=BP=CQ，∠PBE=∠GCD，

∴∠DGC=∠PBE+∠GCB=∠GCD+∠GCB=∠DCB=60°，

∴△GCD是等邊三角形，

∴GQ=CQ=，

又∵點G是PQ的中點，

∴PQ=2GQ=，

∴BQ=BP+PQ=.

故答案為：.