Question

【題目】對于平面直角坐標系中的任意兩點P1（x1 ， y1），P2（x2 ， y2），我們把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2兩點間的直角距離，記作d（P1 ， P2）．
（1）已知O為坐標原點，動點P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關系式，并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形；
（2）設P0（x0 ， y0）是一定點，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（P0 ， Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離．試求點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，得|x|+|y|=1，

∵d（O，P）=1，O（0，0），P（x，y）

∴d（0，P）=|x|+|y|

∴|x|+|y|=1

①x≥0，y≥0

∴x+y=1

y=1﹣x

②x≤0，y≤0

∴﹣x﹣y=1

y=﹣x﹣1

③x≥0，y≤0

∴x﹣y=1

y=x﹣1

④x≤0，y≥0

∴﹣x+y=1

y=1+x

將四個函數關系式表示在數軸上，所有符合條件的點P組成的圖形如圖所示：

（2）

解：∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，

又∵x可取一切實數，|x﹣2|+|x+1|表示數軸上實數x所對應的點到數2和﹣1所對應的點的距離之和，其最小值為3．

∴點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離為3

【解析】（1）根據新的運算規則知|x|+|y|=1，據此可以畫出符合題意的圖形；（2）根據新的運算規則知d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，然后由絕對值與數軸的關系可知，|x﹣2|+|x+1|表示數軸上實數x所對應的點到數2和﹣1所對應的點的距離之和，其最小值為3．
【考點精析】利用絕對值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正數的絕對值是其本身，0的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數；注意：絕對值的意義是數軸上表示某數的點離開原點的距離．