Question

【題目】問題探究：在邊長為4的正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．

探究1：如圖1，若點P是對角線BD上任意一點，求線段AP的長的取值范圍；

探究2：如圖2，若點P是△ABC內任意一點，點M、N分別是AB邊和對角線AC上的兩個動點，則當AP的值在探究1中的取值范圍內變化時，△PMN的周長是否存在最小值？如果存在，請求出△PMN周長的最小值，若不存在，請說明理由；

問題解決：如圖3，在邊長為4的正方形ABCD中，點P是△ABC內任意一點，且AP=4，點M、N分別是AB邊和對角線AC上的兩個動點，則當△PMN的周長取到最小值時，直接求四邊形AMPN面積的最大值。

Answer 1

【答案】（1）2≤PA≤4；（2）存在，2；（3）16–8.

【解析】

（1）當P與O重合時，PA的值最小，最小值為，當P與B或D重合時，PA的值最大，最大值為4，即可得線段AP的長的取值范圍；

（2）存在，如圖2中，作點P關于AB、AC的對稱點E、F，連接EF交AB于M，交AC于N，連接AE、AF、PA，由PM＋MN＋PN＝EM＋MN＋NF＝EF，推出點P位置確定時，此時△PMN的周長最小，最小值為線段EF的長，由∠PAM＝∠EAM，∠PAN＝∠FAN，∠BAC＝45°，推出∠EAF＝2∠BAC＝90°，由PA＝PE＝PF，推出△EAF是等腰直角三角形，由PA的最小值為，可得線段EF的最小值為2，由此即可解決問題，（3）如圖3中，在圖2的基礎上，以A為圓心AB為半徑作⊙A，PA交EF于點O，由△MAP≌△MAE，△NAP≌△NAF，推出S四邊形AMPN＝S△AEM＋S△ANF＝S△AEF－S△AMN，由此可以知道△AMN的面積最小時，四邊形AMPN面積最大.

（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，邊長為4，

∴AC⊥BD，AC=BD=4，

∴當P與O重合時，PA的值最小最小值=2，

當P與B或D重合時，PA的值最大，最大值為4，

∴2≤PA≤4．

（2）存在．

理由：如圖2中，作點P關于AB、AC的對稱點E、F，連接EF交AB于M，交AC于N，連接AE、AF、PA．

∵PM+MN+PN=EM+MN+NF=EF，

∴點P位置確定時，此時△PMN的周長最小，最小值為線段EF的長，

∵∠PAM=∠EAM，∠PAN=∠FAN，∠BAC=45°，

∴∠EAF=2∠BAC=90°，

∵PA=PE=PF，∴△EAF是等腰直角三角形，

∵PA的最小值為，∴線段EF的最小值為2，

∴△PMN的周長的最小值為2．

（3）8–（8–8）=16–8