Question

【題目】如圖，在正方形中，過作一直線與相交于點，過作垂直于點，過作垂直于點，在上截取，再過作垂直交于．若．則與四邊形的面積之和為________．

Answer 1

【答案】9

【解析】

由ABCD為正方形，根據正方形的性質得到AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，又根據CG與BE垂直得到∠BCG+∠CBG=90°，根據同角的余角相等得到一對角相等，又根據一對直角相等，利用“AAS”即可得到三角形BCG與三角形FBA全等，根據全等三角形的對應邊相等得到AF與BG相等，又因為FH=FB，從而得到AH=FG，然后由垂直得到一對直角相等，加上一個公共角，得到三角形APH與三角形ABF相似，根據相似得比例，設AH=FG=x，用x表示出PH，由四邊形PHFB一組對邊平行，另一組對邊不平行得到此四邊形為梯形，根據梯形的面積公式，由上底PH，下底為BF=3，高FH=3，表示出梯形的面積；然后在三角形BCG與三角形ECG中，根據同角的余角相等，再加上一對直角得到兩三角形相似，根據相似得比例，用含x的式子表示出GE，由CG=3，表示出的GE，利用三角形的面積公式表示出直角三角形CGE的面積，把表示出的兩面積相加，化簡即可得到結論．

∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，即∠CBG+∠ABF=90°，又CG⊥BE，即∠BGC=90°，∴∠BCG+∠CBG=90°，∴∠ABF=∠BCG，又AF⊥BG，∴∠AFB=∠BGC=90°，∴△ABF≌△BCG，∴AF=BG，BF=CG=FH=3．

又∵FH=BF，∴AH=FG，設AH=FG=x．

∵PH⊥AF，BF⊥AF，∴∠AHP=∠AFB=90°，又∠PAH為公共角，∴△APH∽△ABF，∴=，即PH=．

∵PH∥BF，BP不平行FH，∴四邊形BFHP為梯形，其面積為=+；

又∵∠BCG+∠ECG=90°，∠ECG+∠BEC=90°，∴∠BCG=∠BEC，又∠BGC=∠CGE=90°，∴△BCG∽△CEG，∴=，即GE=，故Rt△CGE的面積為×3×，則△CGE與四邊形BFHP的面積之和為++=+=9．

故答案為：9．