Question

【題目】定義：當點C在線段AB上，AC＝nAB時，我們稱n為點C在線段AB上的點值，記作dC﹣AB＝n．理解：如點C是AB的中點時，即AC＝AB，則dC﹣AB＝；反過來，當dC﹣AB＝時，則有AC＝AB．因此，我們可以這樣理解：dC﹣AB＝n與AC＝nAB具有相同的含義．

應用：（1）如圖1，點C在線段AB上，若dC﹣AB＝，則AC＝　 　AB；若AC＝3BC，則dC﹣AB＝　 　；

（2）已知線段AB＝10cm，點P、Q分別從點A和點B同時出發，相向而行，當點P到達點B時，點P、Q均停止運動，設運動時間為ts．

①若點P、Q的運動速度均為1cm/s，試用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB，并判斷它們的數量關系；

②若點P、Q的運動速度分別為1cm/s和2cm/s，點Q到達點A后立即以原速返回，則當t為何值時，dP﹣AB+dQ﹣AB＝？

拓展：如圖2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，點P、Q同時從點A出發，點P沿線段AB勻速運動到點B，點Q沿線段AC，CB勻速運動至點B．且點P、Q同時到達點B，設dP﹣AB＝n，當點Q運動到線段CB上時，請用含n的式子表示dQ﹣CB．

Answer 1

【答案】應用：（1）；；（2）①dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝，dP﹣AB+dQ﹣AB＝1；②t＝4或；拓展：dQ﹣CB＝．

【解析】

應用：（1）根據dC﹣AB＝n與AC＝nAB具有相同的含義，進行解答即可；

（2）①用含t的式子先表示出AP，AQ，再由定義可求解；

②分t＜5與t≥5兩種情況，根據定義可得dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝（t＜5），dQ﹣AB＝（t≥5），由dP﹣AB+dQ﹣AB＝，列出方程即可求解；

拓展：設運動時間為t，由題意點P、Q同時到達點B，可設點P的速度為3x，點Q速度為5x，可得dP﹣AB＝n＝，dQ﹣CB＝，求解即可．

解：應用：（1）∵dC﹣AB＝，∴AC＝AB，

∵AC＝3BC，∴AC＝AB，∴dC﹣AB＝，

故答案為：；；

（2）①∵點P、Q的運動速度均為1cm/s，

∴AP＝tcm，AQ＝（10﹣t）cm，

∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝，

∴dP﹣AB+dQ﹣AB＝＝1；

②∵點P、Q的運動速度分別為1cm/s和2cm/s，

∴AP＝tcm，

當t＜5時，AQ＝（10﹣2t）cm，

∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝，

∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝，∴＝，解得t＝4；

當t≥5時，AQ＝（2t﹣10）cm，

∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝，

∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝，∴＝，解得t＝；

綜上所述，t＝4或；

拓展：設運動時間為t，

∵點P、Q同時到達點B，AB=12，AC+BC=20，

∴點P的速度:點Q速度＝3:5，

設點P的速度為3x，點Q速度為5x，

∴dP﹣AB＝n＝，dQ﹣CB＝，

∴xt=4n，

∴dQ﹣CB＝＝．