Question

【題目】如圖,E是正方形ABCD的邊AB上的動點,EF⊥DE交BC于點F.

(1)求證:△ADE∽△BEF.

(2)設正方形的邊長為4,AE=x,BF=y.當x取什么值時,y有最大值?并求出這個最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1.

【解析】試題分析：（1）這兩個三角形中，已知的條件有∠DAE=∠EBF=90°,

那么只要得出另外一組對應角相等即可得出兩三角形相似，因為∠ADE+∠DEA=90°.

而∠AED+∠FEB=90°，因此∠ADE=∠FEB.那么就構成了兩三角形相似的條件；
（2）可用表示出BE的長，然后根據（1）中△ADE∽△BEF.可得出關于的比例關系式，然后就能得出一個關于的函數關系式．根據函數的性質即可得出的最大值及相應的的值．

試題解析：(1) 四邊形ABCD是正方形,

∴∠DAE=∠EBF=90°,

∴∠ADE+∠DEA=90°.

又EF⊥DE,

∴∠AED+∠FEB=90°,

∴∠ADE=∠FEB.

∴△ADE∽△BEF.

(2) 由(1)△ADE∽△BEF,AD=4,BE=4-x,得,得y= (-x2+4x)

= [-(x-2)2+4]=- (x-2)2+1,

∴當x=2時,y有最大值,y的最大值為1.