Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 與拋物線 交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－8．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E．
①設(shè)△PDE的周長(zhǎng)為 ，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ，求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 的最大值；
②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在 軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：對(duì)于 ，當(dāng)y=0，x=2．當(dāng)x=－8時(shí)，y=－ ．

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（－8，－ ）．

由拋物線 經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，得 ，解得 ， ．

∴ ；

（2）解：①設(shè)直線 與y軸交于點(diǎn)M，

當(dāng)x=0時(shí)，y= ．∴OM= ．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∴OA=2．

∴AM= ．

∴OM∶OA∶AM=3∶4∶5．

由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，

∴△AOM∽△PED．

∴DE∶PE∶PD=3∶4∶5．

∵點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

∵PD⊥x軸，

∴PD兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，

∴PD=yP－yD= = ，

∴ ．

∴x=－3時(shí)，l最大=15；

②當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，如圖2，

由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，

即 ，解得x= ，

所以P1（ ，2），P2（ ，2），

如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)P作PS⊥x軸于點(diǎn)S，

由△PNF≌△PSA，

PN=PS，可得P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，

故得當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)， ，解得 ，

可得P3（ ， ），

P4（ ， ），（舍去）．

綜上所述：滿足題意的點(diǎn)P有三個(gè)，分別是P1（ ，2），P2（ ，2），P3（ ， ）．

【解析】（1）利用一次函數(shù)的解析式當(dāng)y=0時(shí)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再將x=-8代入函數(shù)解析式求出B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答。
（2）①設(shè)z直線AB與y軸交于點(diǎn)M，根據(jù)勾股定理求出AM長(zhǎng)，及三邊之比，再證明△AOM∽△PED．得出DE∶PE∶PD=3∶4∶5，由點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸，得出P、D兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，即可求出PD的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式列式整理即可得解，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答。
②當(dāng)點(diǎn)G在y軸上時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，先證△ACP≌△GOA，得PC=AO=2，根據(jù)二次函數(shù)的解析式建立方程求解，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
當(dāng)點(diǎn)F在y軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，根據(jù)正方形的性質(zhì)，先證△PNF≌△PSA，得出PN=PS，可得P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，建立方程求解，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的最值和正方形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．