Question

【題目】如圖，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于點O，BD＝CD，且AE＝BE．

（1）求線段AO的長；

（2）動點P從點O出發，沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，動點Q從點B出發沿射線BC以每秒4個單位長度的速度運動，P、Q兩點同時出發，當點P到達A點時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t秒，△POQ的面積為S，請用含t的式子表示S，并直接寫出相應的t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，點F是直線AC上的一點且CF＝BO．是否存在t值，使以點B、O、P為頂點的三角形與以點F、C、Q為頂點的三角形全等？若存在，請直接寫出符合條件的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AO＝BC＝5；（2）①S＝﹣2t2+t（0＜t＜）；②S＝2t2﹣t（＜t≤5）；（3）存在；t＝1或s．

【解析】

（1）只要證明△AOE≌△BCE即可解決問題；

（2）分兩種情形討論求解即可①當點Q在線段BD上時，QD＝2﹣4t，②當點Q在射線DC上時，DQ＝4t﹣2時；

（3）分兩種情形求解即可①如圖2中，當OP＝CQ時，BOP≌△FCQ．②如圖3中，當OP＝CQ時，△BOP≌△FCQ.

解：（1）如圖1中，

∵AD是高，

∴∠ADC＝90°，

∵BE是高，

∴∠AEB＝∠BEC＝90°，

∴∠EAO+∠ACD＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，

∴∠EAO＝∠EBC，

在△AOE和△BCE中，

，

∴△AOE≌△BCE，

∴AO＝BC＝5．

（2）∵BD＝CD，BC＝5，

∴BD＝2，CD＝3，

由題意OP＝t，BQ＝4t，

①當點Q在線段BD上時，QD＝2﹣4t，

∴S＝t（2﹣4t）＝﹣2t2+t（0＜t＜）．

②當點Q在射線DC上時，DQ＝4t﹣2，

∴S＝t（4t﹣2）＝2t2﹣t（＜t≤5）．

（3）存在．

①如圖2中，當OP＝CQ時，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．

∴CQ＝OP，

∴5﹣4t═t，

解得t＝1，

②如圖3中，當OP＝CQ時，∵OB＝CF，∠POB＝∠FCQ，

∴△BOP≌△FCQ．

∴CQ＝OP，

∴4t﹣5＝t，

解得t＝．

綜上所述，t＝1或s時，△BOP與△FCQ全等．