Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OACB的頂點(diǎn)A、B分別在軸和軸上，已知OA=5，OB=3，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿折線(xiàn)BCA的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．

（1）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，求直線(xiàn)DP的函數(shù)解析式；

（2）求△OPD的面積S關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的取值范圍；

（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某些位置使△ADP是不以DP為底邊的等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或或

【解析】

（1）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求直線(xiàn)DP的解析式即可；

（2）分點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上和在線(xiàn)段AC上兩種情況，分別求得s關(guān)于的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上時(shí)，可用t表示出點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)，再分別表示出DP、AP和AD的長(zhǎng)，然后再分DP=AP、DP=AD和AP=AD三種情況分別求得關(guān)于t的方程，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上時(shí)，則只能有PD=AD，則點(diǎn)D在線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)上，即可確定線(xiàn)段AP中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1），，且四邊形為長(zhǎng)方形，

，

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為，

設(shè)直線(xiàn)DP解析式為，

，解得，

直線(xiàn)DP解析式為．

（2）當(dāng)時(shí)，如圖1，

則，且，

，

當(dāng)時(shí)，，

．存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或或

（3）存在，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上時(shí)，如圖2，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，

，，

，，，

∵△ADP是不以DP為底邊的等腰三角形

∴有，兩種情況，

①當(dāng)時(shí)，則有，解得，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

②當(dāng)時(shí)，則有，解得（舍去）或，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上時(shí)，

，

∴只有，

在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，

∴線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為；

綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或或．