Question

【題目】在⊙O中，直徑AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，點P在BC上，點Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如圖1，當PQ∥AB時，求PQ的長度；

（2）如圖2，當點P在BC上移動時，求PQ長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）在Rt△OPB中，由OP=OB·tan∠ABC可求得OP=，連接OQ，在Rt△OPQ中，根據勾股定理可得PQ的長；（2）由勾股定理可知OQ為定值，所以當當OP最小時，PQ最大．根據垂線段最短可知，當OP⊥BC時OP最小，所以在Rt△OPB中，由OP=OB·sin∠ABC求得OP的長；在Rt△OPQ中，根據勾股定理求得PQ的長．

試題解析：解：（1）∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB．

在Rt△OPB中，OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=．

連接OQ，在Rt△OPQ中， ．

（2） ∵

∴當OP最小時，PQ最大，此時OP⊥BC．

OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=．

∴PQ長的最大值為．