Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，n）．

（1）若建立平面直角坐標(biāo)系，滿足原點(diǎn)在線段BD上，點(diǎn)B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為　　，點(diǎn)C的坐標(biāo)為　　；請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N縱坐標(biāo)n的取值范圍是　　；

（2）若正方形的邊長(zhǎng)為2，求EC的長(zhǎng)，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：連結(jié)MN，，）

Answer 1

【答案】（1）D（1，0），C（0，﹣1）；0＜n≤；（2）EC=+，AM+BM+CM的最小值為+

【解析】

（1）如圖1，以直線BD為x軸，直線AC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OA＝OB＝OC＝OD，由點(diǎn)B（1，0），A（0，1），于是得到D（1，0），C（0，1）；過(guò)N作NH⊥BD于h，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠NBH＝60°，BM＝BN，求得NH＝BN＝t，于是得到結(jié)論；
（2）如圖所示，連接MN，過(guò)E作EH⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BM＝BN，∠NBM＝60°，求得△BMN是等邊三角形，求得MN＝BM，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BE＝BA，∠ABE＝60°，求得∠ABM＝∠EBN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM＝EN，求得AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM，當(dāng)E，N，M，C在同一直線上時(shí)，AM＋BM＋CN的最小值是CE的長(zhǎng)，利用勾股定理即可得到結(jié)論．

解：（1）如圖1，以直線BD為x軸，直線AC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∵點(diǎn)B（﹣1，0），A（0，1），

∴D（1，0），C（0，﹣1）；

過(guò)N作NH⊥BD于h，

∴∠NHB＝90°，

∵將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，

∴∠NBH＝60°，BM＝BN，

∴NH＝BN＝t，

∵0＜t≤2，

∴點(diǎn)N縱坐標(biāo)n的取值范圍是0＜n≤；

（2）如圖2所示，連接MN，過(guò)E作EH⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于H，

由旋轉(zhuǎn)可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，

∴△BMN是等邊三角形，

∴MN＝BM，

∵△ABE是等邊三角形，

∴BE＝BA，∠ABE＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN，

∴△ABM≌△EBN（SAS），

∴AM＝EN，

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，

∴當(dāng)E，N，M，C在同一直線上時(shí)，AM+BM+CN的最小值是CE的長(zhǎng)，

又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，

∴∠EBH＝30°，

∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，

∴BH＝＝＝，

∴CH＝2+，

∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；

∴AM+BM+CM的最小值為+．