Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求證：DE∥FC．

Answer 1

【答案】證明：延長BF交DE于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠BCF+∠FCD=90°，
∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，
∴∠ECD+∠FCD=90°，
∴∠BCF=∠ECD．
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
延長BF交DE于H，
∴BF=DE，∠CBF=∠CDE，
∵∠CBF+∠1=90°，∠1=∠2，
∴∠2+∠CDE=90°，
∴∠DHF=90°，
∴BF⊥DE，
在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°，
∴BF= =4．
∵△BCF≌△DCE，
∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°．
∴DE∥FC．

【解析】首先由四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，易得BC=DC，∠BCF=∠ECD，又由CE=CF，利用SAS即可證得△BCF≌△DCE，再延長BF交DE于H，由△BCF≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，即可得BF=DE，又由全等三角形的對應角相等，易求得∠CDE+∠2=90°，則可得BF⊥DE，再根據(jù)由BC=5，CF=3，∠BFC=90°，利用勾股定理即可求得BF的長，又由△BCF≌△DCE，即可得DE的長，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，進而證明DE∥FC．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的逆定理和正方形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．