Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB=6，AD⊥BC于點D．點P在邊AB上運動，過點P作PE∥BC，與邊AC交于點E，連結ED，以PE、ED為鄰邊作PEDF．設PEDF與△ABC重疊部分圖形的面積為y，線段AP的長為x（0＜x＜6）．

（1）求線段PE的長．（用含x的代數式表示）
（2）當四邊形PEDF為菱形時，求x的值．
（3）求y與x之間的函數關系式．
（4）設點A關于直線PE的對稱點為點A′，當線段A′B的垂直平分線與直線AD相交時，設其交點為Q，當點P與點Q位于直線BC同側（不包括點Q在直線BC上）時，直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵PE∥BC，

∴△APE∽△ABC，

又∵△ABC是等邊△，

∴△APE是等邊三角形，

∴PE=AP=x（0＜x＜6）；

（2）

解：∵四邊形PEDF為菱形，

∴PE=DE=x，

又∵△APE是等邊三角形，則AE=PE，

∴AE=DE，

∴∠DAC=∠ADE，

又∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°，

∴∠EDC=∠C，

∴DE=EC，

∴DE=EC=AE=AC=AB=3．

即x=3；

（3）

解：當x=3，即P是AB的中點時，PE=BC，則F與B重合．

則當0＜x≤3時，重合部分就是平行四邊形PEDF，如圖1．

等邊△ABC中，AD=ABsin60°=6×=3，等邊△APE中，AM=APsin60°=x，

則DM=3﹣x，

則y=x（3﹣x），即y=﹣x2+3x；

當3＜x＜6時，重合部分是梯形PEDB，如圖2．

則y=（PE+BD）DM=（x+3）（3﹣x），即y=﹣；

（4）

解：情形一：當A′在BC上方時，如圖3所示，

當A′B的中垂線正好經過點D時，A′D=BD=3，

則AA′=3-3．

則AM=AA′=（3-3），

∴x=AP==3-．

則x的取值范圍是：0＜x＜3-．

情形二：當A′在BC上時，PQ∥AD，如圖4所示，

AP=A′P=BP=AB=×6=3．

情形三：當A′在BC下方時，如圖5所示，

當A′B的中垂線正好經過點D時，A′D=BD=3，

則AA′=3+3．

則AM=AA′=（3+3），

∴x=AP==3+．

則x的取值范圍是：3＜x＜3+．

綜上所示，x的取值范圍為0＜x＜3﹣或3＜x＜3+．

【解析】（1）證明△APE是等邊三角形，即可求解；
（2）四邊形PEDF為菱形時，AE=DE，然后證明DE=EC即可得到E是AC的中點，則P是AB的中點，據此即可求解；
（3）當x=3，即P是AB的中點時，PE=BC，則F與B重合，當0＜x≤3時，重合部分就是平行四邊形PEDF，當3＜x≤6時，重合部分是梯形PEDB，根據平行四邊形和梯形的面積公式即可求解；
（4）首先求得當A'B的中垂線正好經過點D時x的值，據此即可求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行線的性質的相關知識，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補，以及對平行四邊形的性質的理解，了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．