Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x﹣1）2+4與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C，且點B的坐標為（3，0），點P在這條拋物線上，且不與B、C兩點重合．過點P作y軸的垂線與射線BC交于點Q，以PQ為邊作Rt△PQF，使∠PQF=90°，點F在點Q的下方，且QF=1．設線段PQ的長度為d，點P的橫坐標為m．

（1）求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式．
（2）求d與m之間的函數(shù)關系式．
（3）當Rt△PQF的邊PF被y軸平分時，求d的值．
（4）以OB為邊作等腰直角三角形OBD，當0＜m＜3時，直接寫出點F落在△OBD的邊上時m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點B（3，0）代入拋物線y=a（x﹣1）2+4，

得：4a+4=0，

解得：a=﹣1，

∴拋物線的函數(shù)表達式為：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，

即拋物線解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：對于拋物線y=﹣x2+2x+3，

當x=0時，y=3；

當y=0時，x=﹣1，或x=3，

∴C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0），

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

根據(jù)題意得：，

解得：k=﹣1，b=3，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3，

∵點P的坐標為：（m，﹣m2+2m+3），

∴點Q的縱坐標坐標為：﹣m2+2m+3，

則﹣x+3=﹣m2+2m+3，x=m2﹣2m，

∴點Q的坐標為（m2﹣2m，﹣m2+2m+3），

∴當﹣1≤m＜0時，如圖1，

d=m2﹣2m﹣m=m2﹣3m，

當0＜x＜3時，如圖2，

d=m﹣（m2﹣2m）=﹣m2+3m

∴d與m之間的函數(shù)關系式為：d=；

（3）

解：當Rt△PQF的邊PF被y軸平分時，點P與點Q關于y軸對稱，

∴橫坐標互為相反數(shù)，

∴m2﹣2m+m=0，

解得：m=1，或m=0（不合題意，舍去），

∴m=1，

∴d=3﹣1=2；

（4）

解：分四種情況：

①情形一：如圖4所示，

∵C點的坐標為（0，3），

將y=3代入函數(shù)y=﹣x2+2x+3得x1=0（舍去），x2=2，

∴P點的橫坐標m=2；

②情形二：如圖5所示：過D2點作D2G⊥CO交QF與N點，

∵B（0，3）

∴D2（，），

∵CO=3，QF=1，QF∥CO，

∴=，

∴D2N=，

∴Q（1，2），

將y=2代入函數(shù)y=﹣x2+2x+3得x1=，x2=（舍去），

∴m=；

②情形三：如圖6所示：過D2點作D2G⊥OB，

∵B（0，3）

∴D2（，），

∵BG=，QF=1，QF∥CO，

∴=，

∴BF=1，

∴Q（1，1），

將y=1代入函數(shù)y=﹣x2+2x+3得x1=，x2=（舍去），

∴m=；

④情形四：如圖7所示：

∵CD2=6，QF=1，BC=，且QF∥CD2，

∴，

∴BQ=，

∴Q點縱坐標為，即P點縱坐標，

將y=代入函數(shù)y=﹣x2+2x+3得x1=，x2=（舍去），

∴m=．

綜上所述：當0＜m＜3時，點F落在△OBD的邊上時m的值為：2，或，或，或．

【解析】（1）把點B（3，0）代入拋物線y=a（x﹣1）2+4，求出a的值即可；
（2）先求出直線BC的解析式，由點Q的縱坐標求出橫坐標，求出PQ，即可得出結果；
（3）由題意得出點P與點Q關于y軸對稱，得出方程，解方程即可；
（4）分兩種情況：①當點F落在△OBD的直角邊上時，延長QF交OB于G，證出△OFG是等腰直角三角形，得出OG=FG，由FG=QG﹣QF，得出方程，解方程即可；
②當點F落在△OBD的斜邊上時，證出△BQF是等腰直角三角形，得出BF=QF=1，OF=2，得出方程，解方程即可．