Question

【題目】如圖（1），拋物線 y=﹣ x2平移后過點A（8，0）和原點，頂點為B，對稱軸與x軸相交于點C，與原拋物線相交于點D．

（1）求平移后拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）直接寫出陰影部分的面積 S陰影；
（3）如圖（2），直線AB與y軸相交于點P，點M為線段OA上一動點（點M不與點A，O重合 ），∠PMN為直角，MN與AP相交于點N，設OM=t，試探究：t為何值時，△MAN為等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：平移后的拋物線解析式為y=﹣ x（x﹣8），

即y=﹣ x2+ x

（2）

解：如圖1，連接OB、OD，

y=﹣ （x﹣4）2+3，則B（4，3）

平移后的拋物線的對稱軸為直線x=4，

當x=4時，y=﹣ x2=﹣3，則D（4，﹣3），

∴點B與點D關于x軸對稱，

∴陰影部分的面積 S陰影=S△OBD= ×3×（4+4）=12

（3）

解：設直線AB的解析式為y=kx+b，

把A（8，0），B（4，3）代入得 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為y=﹣ x+6，

作NQ⊥x軸于Q，如圖2，P（0，6），AP=10，

∵∠PMN為直角，

∴∠PMO+∠QMN=90°，

而∠PMO+∠MOP=90°，

∴∠QMN=∠MOP，

∴△MPO∽△NMQ，

∴ = ，

當NM=NA時，MQ=AQ= （8﹣t），

∴OQ=8﹣ （8﹣t）= t+4，

當x= t+4時，y=﹣ （ t+4）+6=﹣ t+3；

∴ = ，解得t1=8（舍去），t2= ；

當AM=AN時，AN=AM=8﹣t，

∵NQ∥OP，

∴△ANQ∽△APO，

∴ = = ，即 = = ，

∴NQ= （8﹣t），AQ= （8﹣t），

∴MQ=8﹣t﹣ （8﹣t）= ，

∴ = ，解得t1=8（舍去），t2=18（舍去；

當MA=MN時，

∵∠OAP＜45°，

∴∠MNA=∠NAM＜45°，

∴∠AMN＞90°，顯然不成立，

綜上所述，當t為 時，△MAN為等腰三角形

【解析】（1）利用交點式寫出平移后的拋物線解析式；（2）如圖1，連接OB、OD，先通過配方法可得到B（4，3），再確定D（4，﹣3），利用對稱性可得到陰影部分的面積 S陰影=S△OBD ， 然后根據三角形面積公式求解；（3）先利用待定系數法求出直線AB的解析式為y=﹣ x+6，作NQ⊥x軸于Q，如圖2，易得P（0，6），AP=10，再證明△MPO∽△NMQ得到 = ，然后討論：當NM=NA時，MQ=AQ= （8﹣t），則OQ= t+4，接著利用一次函數圖象上點的坐標表示出NQ=﹣ t+3，則利用相似比得到 = ，解方程求出滿足條件的t的值；當AM=AN時，AN=AM=8﹣t，證明△ANQ∽△APO，利用相似比可得到NQ= （8﹣t），AQ= （8﹣t），則MQ=8﹣t﹣ （8﹣t）= ，然后利用相似比得到 = ，解方程確定滿足條件的t的值；當MA=MN時，由于∠OAP＜45°，則∠MNA=∠NAM＜45°，原式可判斷∠AMN＞90°，顯然不成立，所以當t為 時，△MAN為等腰三角形．