Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，點是的中點，，交正方形外角的平分線于，連接、、，求證：

；

；

是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）取AB中點M，連接ME，利用正方形的性質和等腰直角三角形的性質，證得△AME≌△ECF，得出結論；

（2）利用（1）圖，△AEF是等腰直角三角形，∠2=∠4，∠ACF=∠B，證得結論；

（3）設正方形ABCD邊長為2a，則BE=a，過F作FN⊥BC的延長線于N，FP⊥CD于P，證得四邊形PCNF是矩形，△FCN是等腰直角三角形，△FNE≌△EBA（AAS），得到FN=BE=a，進而得到DC=FC，即可得到△DFC是等腰直角三角形．

（1）如圖（1），取AB中點M，連接ME，則AM=BM=BE=CE=BC，∴在Rt△BME中，∠BME=∠BEM=45°，∴∠AME=135°，∠1+∠2=45°．

∵∠AEF=90°，∴∠1+∠3=45°，∴∠2=∠3．

∵CF是正方形外角的平分線，∴∠DCF=×90°=45°，∴∠ECF=90°+45°=∠AME．

在△AME和△ECF中，∵，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．

（2）如圖（1）．∵∠AEF=90°，AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠EAF=45°，即∠4+∠5=45°．

∵AC為正方形ABCD的對角線，∴∠BAC=45°，即∠2+∠5=45°，∴∠2=∠4．

∵∠DCF=∠DCA=×90°=45°，∴∠ACF=45°+45°=90°=∠B，∴△ABE∽△ACF．

（3）如圖（2），設正方形ABCD邊長為2a，則BE=a，AE=EF=a．

∵△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE=a．

過F作FN⊥BC的延長線于N，FP⊥CD于P，則四邊形PCNF是矩形，∠FNE=90°=∠B．

∵∠FCN=45°，∴△CNF是等腰直角三角形，∴CN=FN．

又由（1）知，∠3=∠2，EF=AE．在△FNE和△EBA中，∵，∴△FNE≌△EBA（AAS），∴FN=BE=a，∴PC=PF=CN=a，∴DP=a，∴DF==，∴DC=FC．

∵∠DCF=45°，∴∠CDF=45°，∴∠DFC=90°，∴△DFC是等腰直角三角形．