Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）D是笫一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C、B不重合），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連結(jié)BD、CD．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，△BCD的面積為S．
①求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式及自變量m的取值范圍；
②當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值，并求這個(gè)最大值；
③直線BC能否把△BDF分成面積之比為2：3的兩部分？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5），

∴設(shè)y=a（x+1）（x﹣5），

∴5=a（0+1）（0﹣5），

解得a=﹣1，

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣（x+1）（x﹣5），

即y=﹣x2+4x+5

（2）

解：①設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則

解得 ，

∴y=﹣x+5，

設(shè)D（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+5），

∴DE=﹣m2+4m+5+m﹣5=﹣m2+5m

∴s= （﹣m2+5m）=﹣ m2+ m （0＜m＜5）；

②s=﹣ m2+ m= ，

∵ ，

∴當(dāng)m= 時(shí)，S有最大值，S最大值= ；

③∵△BDE和△BFE是等高的，

∴它們的面積比=DE：EF，

（�。┊�(dāng)DE：EF=2：3時(shí)，

即 ，

解得： （舍），

此時(shí)，D（ ）；

（ⅱ）當(dāng)DE：EF=3：2時(shí)，

即 ，

解得： （舍），

此時(shí)，D（ ）．

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）或（ ）

【解析】（1）由拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣5），將點(diǎn)C（0，3）代入拋物線解析式中即可得出關(guān)于a一元一次方程，解方程即可求出a的值，從而得出拋物線的解析式；（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，結(jié)合點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式，再由點(diǎn)D橫坐標(biāo)為m得出點(diǎn)D、點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的面積公式，即可得出結(jié)論；②由①的結(jié)論，利用配方法將S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行變形，從而得出結(jié)論；③結(jié)合圖象可知△BDE和△BFE是等高的，由此得出它們的面積比=DE：EF，分兩種情況考慮，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出關(guān)于m的分式方程，解方程即可得出m的值，將其代入到點(diǎn)D的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�