Question

【題目】如圖，已知E、F分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點，AF與DE交于點M，O為BD的中點，則下列結論：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM= MF．其中正確結論的個數是（ ）
A.5個
B.4個
C.3個
D.2個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°， ∵E、F分別為邊AB，BC的中點，
∴AE=BF= BC，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°﹣（∠ADE+∠DAF）=180°﹣90°=90°，
∴∠AME=180°﹣∠AMD=180°﹣90°=90°，故①正確；
∵DE是△ABD的中線，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②錯誤；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴ = = =2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④正確；
設正方形ABCD的邊長為2a，則BF=a，
在Rt△ABF中，AF= = = a，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
∴ = ，
即 = ，
解得AM= a，
∴MF=AF﹣AM= a﹣ a= a，
∴AM= MF，故⑤正確；
如圖，過點M作MN⊥AB于N，
則 = = ，
即 = = ，
解得MN= a，AN= a，
∴NB=AB﹣AN=2a﹣ a= a，
根據勾股定理，BM= = = a，
過點M作GH∥AB，過點O作OK⊥GH于K，
則OK=a﹣ a= a，MK= a﹣a= a，
在Rt△MKO中，MO= = = a，
根據正方形的性質，BO=2a× = a，
∵BM2+MO2=（ a）2+（ a）2=2a2 ，
BO2=（ a）2=2a2 ，
∴BM2+MO2=BO2 ，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正確；
綜上所述，正確的結論有①③④⑤共4個．
故選B．

根據正方形的性質可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根據中點定義求出AE=BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，從而求出∠AMD=90°，再根據鄰補角的定義可得∠AME=90°，從而判斷①正確；根據中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判斷出②錯誤；根據直角三角形的性質判斷出△AED、△MAD、△MEA三個三角形相似，利用相似三角形對應邊成比例可得 = = =2，然后求出MD=2AM=4EM，判斷出④正確，設正方形ABCD的邊長為2a，利用勾股定理列式求出AF，再根據相似三角形對應邊成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM= MF，判斷出⑤正確；過點M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，過點M作GH∥AB，過點O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根據正方形的性質求出BO，然后利用勾股定理逆定理判斷出∠BMO=90°，從而判斷出③正確．