Question

【題目】在正方形ABCD中，P是BC上一點，且BP=3PC，Q是CD得中點．
（1）證明△ADQ∽△QCP；
（2）求證：AQ⊥QP．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BP=3PC，Q是CD的中點

∴ = ，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，

∴△ADQ∽△QCP

（2）證明：∵△ADQ∽△QCP，

∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，

∴∠PQC+∠DQA=∠DAQ+∠AQD=90°，

∴AQ⊥QP

【解析】（1）根據BP=3PC和Q是CD的中點，可以求得 ，即可求證△ADQ∽△QCP；（2）根據△ADQ∽△QCP可以求得∠PQC+∠DQA=90°，即可解題．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．