Question

【題目】如圖①，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB．
（1）求證：△BCP≌△DCP；
（2）求證：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠ABC=58°，則∠DPE=度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，

∵在△BCP和△DCP中，

，

∴△BCP≌△DCP（SAS）

（2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，

∴∠CBP=∠CDP，

∵PE=PB，

∴∠CBP=∠E，

∵∠1=∠2（對頂角相等），

∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，

即∠DPE=∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC，

∴∠DPE=∠ABC

（3）58
【解析】（3）解：與（2）同理可得：∠DPE=∠ABC， ∵∠ABC=58°，
∴∠DPE=58°．
故答案為：58．

（1）根據正方形的四條邊都相等可得BC=DC，對角線平分一組對角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“邊角邊”證明即可；（2）根據全等三角形對應角相等可得∠CBP=∠CDP，根據等邊對等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得證；（3）根據（2）的結論解答．