Question

【題目】如圖，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上，連接CF．
（1）求證：∠HEA=∠CGF；
（2）當AH=DG時，求證：菱形EFGH為正方形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接GE，

∵AB∥CD，

∴∠AEG=∠CGE，

∵GF∥HE，

∴∠HEG=∠FGE，

∴∠HEA=∠CGF

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠D=∠A=90°，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴HG=HE，

在Rt△HAE和Rt△GDH中，

，

∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），

∴∠AHE=∠DGH，又∠DHG+∠DGH=90°，

∴∠DHG+∠AHE=90°，

∴∠GHE=90°，

∴菱形EFGH為正方形；

【解析】（1）連接GE，根據正方形的性質和平行線的性質得到∠AEG=∠CGE，根據菱形的性質和平行線的性質得到∠HEG=∠FGE，解答即可；（2）證明Rt△HAE≌Rt△GDH，得到∠AHE=∠DGH，證明∠GHE=90°，根據正方形的判定定理證明．