Question

【題目】如圖，△ 內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)B作⊙O的切線DE，F(xiàn)為射線BD上一點(diǎn)，連接CF

（1）求證： ；
（2）若⊙O 的直徑為5， ， ，求 的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

如圖：連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M，連接MC．

∴∠A=∠M，∠MCB=90°．

∴∠M+∠MBC=90°．

∵DE是⊙O的切線，

∴∠CBE+∠MBC=90°．

∴ ．

∴ ．

（2）解：過點(diǎn) 作 于點(diǎn) ．

∴ ．

由（1）得， ．

∴ ．

在Rt△ 中,

∵ ，

∴ ．

在Rt△ 中，

∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

在Rt△ 中，

∵ ，

∴ ．

【解析】（1）根據(jù)圓周角定理和直徑的性質(zhì)，得到∠M+∠MBC=90°，再由DE是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)，得到∠CBE=∠A；（2）由（1）得，∠M=∠CBE=∠A ，由tanA=2，根據(jù)三角函數(shù)得到tanM=tan∠CBE= tanA，根據(jù)勾股定理求出BC的值，求出CF的值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系（倒數(shù)、平方和商）的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：平方關(guān)系（sin2A+cos2A=1）；倒數(shù)關(guān)系（tanAtan(90°—A)=1）；弦切關(guān)系（tanA=sinA/cosA ）才能正確解答此題．