Question

【題目】解答
（1）閱讀理解：
我們把滿足某種條件的所有點所組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．
例如：角的平分線是到角的兩邊距離相等的點的軌跡．
問題：如圖1，已知EF為△ABC的中位線，M是邊BC上一動點，連接AM交EF于點P，那么動點P為線段AM中點．
理由：∵線段EF為△ABC的中位線，∴EF∥BC，
由平行線分線段成比例得：動點P為線段AM中點．
由此你得到動點P的運動軌跡是： ．
（2）知識應用：
如圖2，已知EF為等邊△ABC邊AB、AC上的動點，連結EF；若AF=BE，且等邊△ABC的邊長為8，求線段EF中點Q的運動軌跡的長．
（3）拓展提高：
如圖3，P為線段AB上一動點（點P不與點A、B重合），在線段AB的同側分別作等邊△APC和等邊△PBD，連結AD、BC，交點為Q．

①求∠AQB的度數；
②若AB=6，求動點Q運動軌跡的長．

Answer 1

【答案】
（1）線段EF
（2）

解：如圖1中，作△ABC的中位線MN，作EG∥AC交NM的延長線于G，EF與MN交于點Q′

∵△ABC是等邊三角形，MN是中位線，

∴AM=BM=AN=CN，

∵AF=BE，

∴EM=FN，

∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠B=∠GME=60°，

∵∠A=∠GEM=60°，

∴△GEM是等邊三角形，

∴EM=EG=FN，

在△GQ′E和△NQ′F中，

，

∴△GQ′E≌△NQ′F，

∴EQ′=FQ′，

∵EQ=QF，

′點Q、Q′重合，

∴點Q在線段MN上，

∴段EF中點Q的運動軌跡是線段MN，

MN= BC= ×8=4．

∴線段EF中點Q的運動軌跡的長為4．

（3）

解：

①如圖2中，

∵△APC，△PBD都是等邊三角形，

∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，

∴∠APD=∠CPB，

在△APD和△CPB中，

，

∴△APD≌△CPB，

∴∠ADP=∠CBP，設BC與PD交于點G，

∵∠QGD=∠PGB，

∴∠DQG=∠BPG=60°，

∴∠AQB=180°﹣∠DQG=120°

②由（1）可知點P的運動軌跡是 ，設弧AB所在圓的圓心為O，Z 圓上任意取一點M，連接AM，BM，

則∠M=60°，

∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH= ，OB=2 ，

∴弧AB的長= = π．

∴動點Q運動軌跡的長 π

【解析】閱讀理解：根據軌跡的定義可知，動點P的運動軌跡是線段EF．
知識應用：如圖1中，作△ABC的中位線MN，作EG∥AC交NM的延長線于G，EF與MN交于點Q′，△GQ′E≌△NQ′F，推出Q、Q′重合即可解決問題．
拓展提高：如圖2中，（1）只要證明△APD≌△CPB，推出∠DQG=∠BPG=60°結論解決問題．（2）由（1）可知點P的運動軌跡是 ，設弧AB所在圓的圓心為O，Z 圓上任意取一點M，連接AM，BM，則∠M=60°，作OH⊥AB于H，則AH=BH=3，OH= ，OB=2 ，利用弧長公式即可解決．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解弧長計算公式的相關知識，掌握若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的．