Question

【題目】（1）問題情境，如圖1，△ABC的邊BC在直線m上，AC⊥BC，且AC=BC，△EFP的邊FP也在直線m上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP，

在圖1中，AB與AP的數量關系是_______，AB與AP的位置關系是_______

（2）操作發現：將△EFP沿直線m向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連接AP，BQ，猜想并證明BQ與AP的數量關系和位置關系

（3）猜想論證：將△EFP沿直線m向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連接AP，BQ，（2）中的結論還成立嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）相等，垂直（2）相等，垂直,證明略（3）成立,證明略

【解析】

（1）先說明△ABC與△EFP是全等的等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角的性質可得 ∠BAC=∠CAP=45°，則AB=AP；又∠BAP=90°，則AP⊥AB；

（2）延長BQ交AP于H點，說明△QPC為等腰直角三角形，則有QC=PC；然后判定△ACP≌△BCQ，則AP=BQ，∠BQC=∠APC，；最后根據直角三角形的性質說明∠PNB=90°即可；

（3）方法同（2）可證BQ與AP所滿足的數量關系為相等，位置關系為垂直．

解：如圖1：由題意得：AC⊥BC、AC=BC、EF=AC、EF=FP，

∴△ABC與△EFP是全等的等腰直角三角形

∴∠BAC=∠CAP=45°

∴AB=AP

又∵∠BAP=∠BAC＋∠CAP= 90°

∴AP⊥AB

故答案為AB=AP，AP⊥AB；

（2）證明：如圖：延長BQ交AP于H點，

∵∠EPF=45

∴∠CPQ=45°

∵AC⊥BC.

∴∠COP=∠CPQ.

∴CQ=CP，即△QPC為等腰直角三角形

在Rt△BCQ和Rt△ACP中

BC=AC、∠BCQ=∠ACP， CQ=CP，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）

∴BQ=AP，∠BQC=∠APC，

在Rt△BCQ中，∠BQC+∠PBN=90°

∴∠APC+∠PBN=90°

∴∠PNB=90°

∴QB⊥AP

（3）成立,理由如下：

如圖3：∵∠EPF=45

∴∠CPQ=45°

∵AC⊥BC.

∴∠COP=∠CPQ.

∴CQ=CP，即△QPC為等腰直角三角形

在Rt△BCQ和Rt△ACP中

BC=AC、∠BCQ=∠ACP， CQ=CP，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）

∴BQ=AP，∠BQC=∠APC，

在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°

∵∠PBH=∠CBQ

∴∠APC+∠PBH=90°

∴∠PHB=180°-（∠APC+∠PBH）=90°

∴QB⊥AP