Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，分別過B、C做射線AD的垂線，垂足分別為E、F，連接BF、CE．

（1）求證：四邊形BECF是平行四邊形；

（2）我們知道S△ABD＝S△ACD，若AF＝FD，在不添加輔助線的條件下，直接寫出與△ABD、△ACD面積相等的所有三角形．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）與△ABD和△ACD面積相等的三角形有△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．

【解析】

（1）根據全等三角形的判定和性質得出ED＝FD，進而利用平行四邊形的判定證明即可；

（2）利用三角形的面積解答即可．

（1）證明：在△ABF與△DEC中

∵D是BC中點，

∴BD＝CD

∵BE⊥AE，CF⊥AE

∴∠BED＝∠CFD＝90，

在△ABF與△DEC中，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴ED＝FD，

∵BD＝CD，

∴四邊形BFEC是平行四邊形；

（2）與△ABD和△ACD面積相等的三角形有△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．

理由：∵四邊形BECF是平行四邊形，

∴S△BDF＝S△BDE＝S△CDE＝S△CDF，

∵AF＝DF，

∴S△ABF＝S△BDF，S△ACF＝S△CDF

∴S△BDF＝S△BDE＝S△CDE＝S△CDF＝S△ABF＝S△ACF，

∴S△ABD＝S△ACD＝S△CEF＝S△BEF＝S△BEC＝S△BFC．