Question

【題目】已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC．

（1）如圖1，若∠BAD=90°，AD=2，求CD的長度；

（2）如圖2，點P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ=AP+CQ，求證：∠PBQ=90°∠ADC；

（3）如圖3，若點Q運動到DC的延長線上，點P也運動到DA的延長線上時，仍然滿足PQ=AP+CQ，則（2）中的結論是否成立？若成立，請給出證明過程，若不成立，請寫出∠PBQ與∠ADC的數量關系，并給出證明過程.

Answer 1

【答案】（1）CD=2；（2）證明見解析；（3）（2）中結論不成立，應該是：，理由見解析.

【解析】

（1）如圖1，利用HL證得兩個直角三角形全等：Rt△BAD≌Rt△BCD，則其對應邊相等：AD=DC=2；
（2）如圖2，延長DC，在上面找一點K，使得CK=AP，連接BK，通過證△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后由全等三角形△PBQ≌△BKQ的對應角相等求得∠PBQ=∠ABC，結合已知條件“∠ABC+∠ADC=180°”可以推知∠PBQ=90°-∠ADC；
（3）（2）中結論不成立，應該是：∠PBQ=90°+∠ADC．
如圖3，在CD延長線上找一點K，使得KC=AP，連接BK，構建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由該全等三角形的性質和全等三角形的判定定理SSS證得：△PBQ≌△BKQ，則其對應角相等：∠PBQ=∠KBQ，結合四邊形的內角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．

（1）∵， ∴

在Rt△BAD和Rt△BCD中，

∴Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）

∴AD=DC=2 ∴DC=2

（2）如圖，延長DC，在上面找一點K，使得CK=AP，連接BK

∵

∴

∵

∴

在△BPA和△BCK中

∴△BPA≌△BCK（SAS）

∴，BP=BK

∵PQ=AP+CQ

∴PQ=QK

在△PBQ和△BKQ中

∴△PBQ≌△BKQ（SSS）

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

（3）（2）中結論不成立，應該是：

在CD延長線上找一點K，使得KC=AP，連接BK

∵

∴

∵

∴

在△BPA和△BCK中

∴△BPA≌△BCK（SAS）

∴，BP=BK

∴

∵PQ=AP+CQ

∴PQ=QK

在△PBQ和△BKQ中

∴△PBQ≌△BKQ（SSS）

∴

∴

∴

∴