Question

【題目】如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形,其中∠BAC=∠EDF=90°、AB=AC=1，△DEF中的點E在BC邊上運動（不與B、C重合），DE始終經過點A,設EF交AC于點H

（1）求證：△ABE∽△ECH；

（2）設BE= ，CH= ，求與的函數關系式，并求當取何值時， 有最大值，最大值是多少？

（3）當點E運動到何處時，△ABE是等腰三角形，并求出此時CH的長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析： 由等腰直角三角形的性質可得通過角的等量代換得到至此，便可證明

由的結論，利用相似三角形的對應邊成比例可得 結合等腰直角三角形的性質求出的長，進而用含的代數式表示出，從而得到與的函數關系式；分析可知，得到的函數關系式是二次函數，利用二次函數的性質即可求出取最大值時對應的的值以及的最大值；

由等腰三角形的性質可知需要分情況進行討論.

試題解析： 證明：因為

所以

所以

所以

（2）由（1）可知，

所以

因為是等腰直角三角形，

所以

因為

所以

所以

所以

所以當時， 有最大值，最大值 .

（3）①當時，因為

所以

所以

此時

②當時， 此時

綜上可知，當或時， 是等腰三角形，

的長為或