Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點E是直線BC上一點，連接AE，過點C作CF⊥AE于點F，連接BF．如圖①，當點E在BC上時，易證AF﹣CF=BF（不需證明），點E在CB的延長線上，如圖②：點E在BC的延長線上，如圖③，線段AF，CF，BF之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

【答案】證明AF=CF+BF．

如圖②中，結論：CF﹣AF=BF．理由見解析；②如圖③中，結論：CF+AF=BF．理由見解析.

【解析】

如圖①中，作BH⊥BF交AF于H．只要證明△BAH△BCF，即可解決問題.

①如圖②中，結論：CF－AF＝BF．作BH⊥BF交AF于H．只要證明△BAH△BCF，即可解決問題.

②如圖③中，結論：CF＋AF＝BF，只要證明△BAH△BCF，即可解決問題.

證明：如圖①中，作BH⊥BF交AF于H．

∵∠ABC=∠FBH，

∴∠FBC=∠ABH，

∵∠EFC=∠EBA=90°，

∠CEF=∠AEB，

∴∠ECF=∠EAB，

在△BAH和△BCF中，

，

∴△BAH≌△BCF，

∴AH=CF，BH=BF，

∵∠FBH=90°，

∴△BFH是等腰直角三角形，

∴FH=BF，

∵FH=AF﹣AH=AF﹣CF，

∴AF﹣CF=BF，

∴AF=CF+BF．

①如圖②中，結論：CF﹣AF=BF．

理由：作BH⊥BF交AF于H．

∵∠ABC=∠FBH，

∴∠FBC=∠ABH，

∵∠AFC=∠ABC=90°，

∴∠CEF+∠FCB=90°，∠AEB+∠BAH=90°

∴∠ECF=∠EAB，

在△BAH和△BCF中，

，

∴△BAH≌△BCF，

∴AH=CF，BH=BF，

∵∠FBH=90°，

∴△BFH是等腰直角三角形，

∴FH=BF，

∵FH=AH﹣AF=CF﹣AF，

∴CF﹣AF=BF．

②如圖③中，結論：CF+AF=BF．

理由：作BH⊥BF交AF于H．

∵∠ABC=∠FBH，

∴∠FBC=∠ABH，

∵∠AFC=∠ABC=90°，

∴∠BCF+∠BAF=180°，∵∠BAF+∠BAH=180°

∴∠BCF=∠BAH，

在△BAH和△BCF中，

，

∴△BAH≌△BCF，

∴AH=CF，BH=BF，

∵∠FBH=90°，

∴△BFH是等腰直角三角形，

∴FH=BF，

∵FH=AH+AF=CF+AF，

∴CF+AF=BF．