Question

【題目】如圖，已知△BAD≌△BCE，∠BAD＝∠BCE＝90°，∠ABD＝∠BEC＝30°，點 M 為 DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點 N．

（1）如 圖 1，當 A、B、E三點在同一直線上時，

①求證：△MEN≌△MDA；

②判斷 AC與 CN數量關系為_______，并說明理由.

（2）將圖 1 中△BCE繞 點 B 逆時針旋轉一周，旋轉過程中△CAN 能否為等腰直角三角形？若能，直接寫出旋轉角度；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②AC=CN，見解析；（2）△BCE繞點B逆時針旋轉一周，旋轉過程中△CAN為等腰直角三角形時，旋轉角度為60°或240°．

【解析】

（1）①先判斷出BC=AD，EC=AB，再判斷出∠MEN=∠MDA，即可得出結論；②首先證明△MEN≌△MDA，得BC=EN；然后證明△ABC≌△CEN，得到AC=CN；

（2）首先證明△MEN≌△MDA，得BC=EN；然后證明△ABC≌△CEN，得到AC=CN，再判斷出∠ACB=90°，進而判斷出∠BAC=∠ACB，再由BA≠CB，得出點A，B，C在同一條直線上，即可得出結論．

解：（1）①∵△BAD≌△BCE，

∴BC=AD，EC=AB．

∵EN∥AD，

∴∠MEN=∠MDA．

在△MEN與△MDA中，

∴△MEN≌△MDA（ASA），

②AC=CN，

由①知，△MEN≌△MDA，

∴EN=AD，

∴EN=BC．

在△ABC與△CEN中，

∴△ABC≌△CEN（SAS），

∴AC=CN．

（2）與（1）同理，可證明△MEN≌△MDA，

∴EN=BC．

設旋轉角為α，則∠ABC=120°+α，

∠DBE=360°-∠DBA-∠ABC-∠CBE=360°-30°-（120°+α）-60°=150°-α．

∵BD=BE，

，

∵EN∥AD，

∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE=，

，

∴∠ABC=∠CEN．

在△ABC與△CEN中，

，

∴△ABC≌△CEN（SAS），

∴AC=CN，∠BAC=∠NCE，

∵△CAN能成為等腰直角三角形

∴∠ACN=90°，

∴∠ACB=∠NCE，

∴∠BAC=∠ACB，

∵AB≠CB，

∴點A，B，C在同一條直線上，

此時旋轉角為60°．如下圖所示：

即△BCE繞點B逆時針旋轉一周，旋轉過程中△CAN為等腰直角三角形時，旋轉角度為60°或240°．