Question

【題目】(1)我國著名的數學家趙爽，早在公元3世紀，就把一個矩形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成丁一個大的正方形（如圖1），這個矩形稱為趙爽弦圖，驗證了一個非常重要的結論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關系式a2＋b2＝c2，稱為勾股定理.

證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，，又可表示為S＝4×ab＋(b－a)2，

∴4×ab＋(b－a)2＝c2.

∴______________

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

(2)愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形(如圖2)，也能驗證這個結論，請你幫助小明完成驗證的過程.

(3)如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請你添加適當的輔助線，證明結論a2＋b2＝c2.

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）通過化簡即可證得；（2）根據四個全等的直角三角形的面積＋陰影部分小正方形的面積＝大正方形的面積，代入數值，即可證明；（3）作輔助線，構建矩形，根據矩形的面積可得結論．

解答：證明：（1）∵大正方形面積表示為S＝，又可表示為S＝4×，

∴4×=．

∴，

∴，

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

故答案為：；

（2）證明：由圖得，大正方形面積＝×ab×4＋＝（a＋b）×（a＋b），

整理得，，

即 ；

（3）如圖，過A作AF⊥AB，過E作EF⊥AF于F，交BC的延長線于D，則四邊形ABDF是矩形，

∵△ACE是等腰直角三角形，

∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB＋∠ECD，

∵∠ACB＋∠BAC＝90°，

∴∠BAC＝∠ECD，

∵∠B＝∠D＝90°，

∴△ABC≌△CDE（AAS），

∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，

S矩形ABDF＝b（a＋b）＝2× ，

∴．