Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，D是線段BC的延長線上一點，以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）如圖1，點D在線段BC的延長線上移動，若∠BAC=30°，則∠DCE=　 　．

（2）設∠BAC=α，∠DCE=β：

①如圖1，當點D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間有什么數量關系？請說明理由；

②當點D在直線BC上（不與B、C重合）移動時，α與β之間有什么數量關系？請直接寫出你的結論．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）①當點D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間的數量關系是α=β；②當D在線段BC上時，α+β=180°，當點D在線段BC延長線或反向延長線上時，α=β．

【解析】

（1）證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據三角形外角性質求出即可；

（2）①證△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根據三角形外角性質求出即可；②分D在線段BC上時和當點D在線段BC延長線或反向延長線上時兩種情況求解即可.

（1）解：（1）∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，

∴∠BAC=∠DCE，

∵∠BAC=30°，

∴∠DCE=30°.

故答案為30;；

（2）①解：當點D在線段BC的延長線上移動時，α與β之間的數量關系是α=β，

理由是：

∵∠DAE=∠BAC，

∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中

∵，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∵∠ACD=∠B+∠BAC=∠ACE+∠DCE，

∴∠BAC=∠DCE，

∵∠BAC=α，∠DCE=β，

∴α=β；

②解：當D在線段BC上時，α+β=180°，

理由如下：

∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAD=∠CAE；

在△BAD與△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠ACE，

∴β=∠ABC+∠ACB，

∵∠ABC+∠ACB=180°-α，

∴α+β=180°．

故答案為α+β=180°；

當點D在線段BC延長線或反向延長線上時，α=β，證明如①.

∴當D在線段BC上時，α+β=180°，當點D在線段BC延長線或反向延長線上時，α=β．