Question

（本小題滿分14分）如圖9，在直角坐標系xoy中，O是坐標原點，點A在x正半軸上，OA=cm，點B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動點P從點O開始沿OA以cm/s的速度向點A移動，動點Q從點A開始沿AB以4cm/s的速度向點B移動，動點R從點B開始沿BO以2cm/s的速度向點O移動.如果P、Q、R分別從O、A、B同時移動，移動時間為t（0＜t＜6）s.

（1）求∠OAB的度數.
（2）以OB為直徑的⊙O‘與AB交于點M，當t為何值時，PM與⊙O‘相切？
（3）寫出△PQR的面積S隨動點移動時間t的函數關系式，并求s的最小值及相應的t值.
（4）是否存在△APQ為等腰三角形，若存在，求出相應的t值，若不存在請說明理由.

Answer 1

（1）∠OAB=30°
（2）t=3時，PM與⊙O‘相切
（3）
（4）當t=2，t=3.6，t=-18時，△APQ是等腰三角形.

解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=
∴∠OAB=30°
（2）如圖10，連接O‘P，O‘M. 當PM與⊙O‘相切時，有∠PM O‘=∠PO O‘=90°，
△PM O‘≌△PO O‘

由（1）知∠OBA=60°
∵O‘M= O‘B
∴△O‘BM是等邊三角形
∴∠B O‘M=60°可得∠O O‘P=∠M O‘P=60°
∴OP=" O" O‘·tan∠O O‘P =6×tan60°=
又∵OP=t
∴t=，t=3
即：t=3時，PM與⊙O‘相切.
（3）如圖9，過點Q作QE⊥x于點E
∵∠BAO=30°，AQ=4t
∴QE=AQ=2t
AE=AQ·cos∠OAB=4t×
∴OE=OA-AE=-t
∴Q點的坐標為（-t，2t）
S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ
=
=
=  （）
當t=3時，S△PQR最小=
（4）分三種情況：如圖11.

1當AP=AQ1=4t時，
∵OP+AP=
∴t+4t=
∴t=
或化簡為t=-18
2當PQ2=AQ2=4t時
過Q2點作Q2D⊥x軸于點D，
∴PA="2AD=2A" Q2·cosA=t
即t+t =
∴t=2
3當PA=PQ3時，過點P作PH⊥AB于點H
AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t
AQ3=2AH=36-6t
得36-6t=4t，
∴t=3.6
綜上所述，當t=2，t=3.6，t=-18時，△APQ是等腰三角形.