Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，點E是AC的中點，過點A作⊙O的切線交BD的延長線于點F．連接AE并延長交BF于點C．

（1）求證：AB=BC；

（2）如果AB=5，tan∠FAC=，求FC的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：（1）由AB是直徑可得BE⊥AC，點E為AC的中點，可知BE垂直平分線段AC，從而結論可證；

（2）由∠FAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABE=90°，可得∠FAC=∠ABE，從而可設AE=x，BE=2x，由勾股定理求出AE、BE、AC的長. 作CH⊥AF于H，可證Rt△ACH∽Rt△BAC，列比例式求出HC、AH的值，再根據平行線分線段成比例求出FH，然后利用勾股定理求出FC的值.

詳解：（1）證明：連接BE.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴BE⊥AC，

而點E為AC的中點，

∴BE垂直平分AC，

∴BA=BC；

（2）解：∵AF為切線，

∴AF⊥AB，

∵∠FAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABE=90°，

∴∠FAC=∠ABE，

∴tan∠ABE=∠FAC=，

在Rt△ABE中，tan∠ABE==，

設AE=x，則BE=2x，

∴AB=x，即x=5，解得x=，

∴AC=2AE=2，BE=2

作CH⊥AF于H，如圖，

∵∠HAC=∠ABE，

∴Rt△ACH∽Rt△BAC，

∴==，即==，

∴HC=2，AH=4，

∵HC∥AB，

∴=，即=，解得FH=

在Rt△FHC中，FC==．