Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2﹣4ax+3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點（A在B的左側）．

（1）求拋物線的對稱軸及點A，B的坐標；

（2）點C（t，3）是拋物線y=ax2﹣4ax+3a（a＞0）上一點，（點C在對稱軸的右側），過點C作x軸的垂線，垂足為點D．

①當CD=AD時，求此時拋物線的表達式；

②當CD＞AD時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) A（1，0），B（3，0）;(2) ①y=x2﹣4x+3；②3＜t＜4.

【解析】分析：（1）令函數值為0得到ax2-4ax+3a=0，然后解方程可得到A點和B點坐標；利用拋物線的對稱軸方程確定拋物線的對稱軸；

（2）①利用點C的坐標得到CD=3，OA=t，則AD=t-1，根據題意得到t-1=3，解方程求出t得到C（4，3），然后把C點坐標代入y=ax2-4ax+3a中求出a即可得到拋物線解析式；

②利用CD>AD得到3>t-1，再利用點C在B點的右側得到t >3，從而可確定t的范圍．

詳解：（1）當y=0時，ax2﹣4ax+3a=0，即x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴A（1，0），B（3，0），

拋物線的對稱軸為直線x=﹣=2；

（2）①∵CD⊥x軸，

∴CD=3，OD=t，

∴AD=t﹣1，

而CD=AD，

∴t﹣1=3，解得t=4，

∴C（4，3），

把C（4，3）代入y=ax2﹣4ax+3a得16a﹣16a+3a=3，解得a=1，

∴此時拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

②∵CD＞AD，

∴3＞t﹣1，

∴t＜4，

而點C在點B的右側，

∴t＞3，

∴t的范圍為3＜t＜4．