Question

【題目】點P、Q分別是邊長為4cm的等邊的邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都是，設運動時間為t秒．

連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，變化嗎：若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；

連接PQ，

當秒時，判斷的形狀，并說明理由；

當時，則______秒直接寫出結果

Answer 1

【答案】（1）在P、Q運動的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ=60°；（2）①△BPQ是等邊三角形；②.

【解析】

（1）先證明△ABQ≌△CAP，得到∠BAQ=∠ACP，根據∠BAQ+∠QAC=60°，然后利用三角形外角的性質即可得出結論；

（2）①當t=2秒時，AP=BQ=2，PB=4﹣2=2，可知△BPQ是等邊三角形；

②當PQ⊥BC時，∠B=60°，根據直角三角形30°所對直角邊等于斜邊一半的性質列等量關系，即可求出時間t.

（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠B=∠PAC=60°，

∵點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，

∴AP=BQ，

在△APC和△BQA中

，

∴△APC≌△BQA（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，

∴在P、Q運動的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ=60°；

故答案為：在P、Q運動的過程中，∠CMQ不變，∠CMQ=60°.

（2）①∵運動時間為ts，則AP=BQ=t，

∴PB=4﹣t，

當t=2秒時，AP=BQ=2，PB=4﹣2=2，∴AP=BQ=PB，

∴△BPQ是等邊三角形；

故答案為：△BPQ是等邊三角形.

②∵運動時間為ts，則AP=BQ=t，∴PB=4﹣t，

∵PQ⊥BC，∴∠PQB=90°，

∵∠B=60°，∴PB=2BQ，

∴4﹣t=2t，解得t=，

故答案為：t=.