Question

【題目】小聰與同桌小明在課下學(xué)習(xí)中遇到這樣一道數(shù)學(xué)題：“如圖（1），在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED=EC，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由”．小敏與小穎討論后，進(jìn)行了如下解答：
（1）取特殊情況，探索討論： 當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖（2），確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你寫出結(jié)論：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”），并說明理由．
（2）特例啟發(fā)，解答題目： 解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如圖（3），過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請你將剩余的解答過程完成）
（3）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題： 在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC，若△ABC的邊長為1，AE=2，則CD的長為 ． （請你畫出圖形，并直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

【答案】
（1）=
（2）=
（3）3或1
【解析】解：（1.）AE=DB， 理由如下：∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵三角形ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴∠ECD= ∠ACB=30°，
∴∠EDC=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴DB=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB，
所以答案是：=；
（2.）如圖3，

∵△ABC為等邊三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC，
在△EFC與△DBE中，
，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB，
∵∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF，AE=BD，
所以答案是：=；
（3.）如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上時(shí)，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC的延長線于點(diǎn)F，

則∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF，∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE，
∵△ACB為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC，而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF，
在△BDE與△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∵△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；
如圖5，當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上時(shí)，過點(diǎn)E作EF∥BC，交CA的延長線于點(diǎn)F，
類似上述解法，同理可證：DB=EF=2，BC=1，
∴CD=2﹣1=1，
所以答案是：3或1．